Quem estudou electricidade, cedo aprendeu a diferença entre valores máximos, valores médios e valores eficazes de um sinal, por norma sinusoidal. Aprendeu também a decorar a relação entre valor máximo e valor eficaz de uma onda, também e só sinusoidal.
Mas se usarmos outra forma de onda, essas relações já não são válidas. Se usarmos uma rectificação de meia onda, qual é o valor médio da tensão obtida? e o valor eficaz? e se for uma rectificação de onda completa? ou uma onda dente de serra? Bem, podemos consultar livros ou mesmo procurar na Internet e temos o problema resolvido. Decoramos durante uns tempos e mais tarde voltamos a esquecer.
O meu objectivo com estas linhas é tentar abordar o assunto de forma a facilitar o entendimento sobre a obtenção dos valores médios e eficazes de um sinal periódico, seja ele qual for, sinusoidal ou não.
O meu objectivo com estas linhas é tentar abordar o assunto de forma a facilitar o entendimento sobre a obtenção dos valores médios e eficazes de um sinal periódico, seja ele qual for, sinusoidal ou não.
Valor máximo
O valor máximo é fácil de entender. É simplesmente o valor máximo que o sinal atinge durante um ciclo ou período T.Valor médio
Penso que todos nós estamos habituados a fazer médias, desde o tempo da escola. 15 a português, 19 a matemática e 14 a inglês dá uma média de (15+19+14)/3=16.
Da mesma forma, o valor médio de um sinal é a média dos valores que o sinal toma ao longo de um período T. Para obter essa média de valores, divide-se o período T em fatias o mais pequenas possível, mede-se o valor que o sinal toma em cada uma dessas fatias, somam-se todos os valores obtidos e no final divide-se pelo número de fatias.
Sinais Rectangulares:
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| Fig.1 sinal rectangular |
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| Fig.2 |
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| Fig. 3 |
Sinais triangulares
Todos os tipos de sinais periódicos, sejam de que tipo forem, utilizam a mesma técnica de cálculo do valor médio: dividir T em fatias finas, medir o valor em cada fatia de T, somar todos os valores medidos e dividir pelo numero de fatias. Podemos automatizar o processo de cálculo, usando calculadoras, folhas de cálculo, ou até simples programas em C ou qualquer outra linguagem.
vou exemplificar o uso de uma folha de cálculo, para obter o valor médio de um sinal triangular, dividindo-o em 400 fatias:
- Colocamos numa coluna números inteiros entre 1 e 400. Representa as fatias.
- Dividimos o sinal em 4 partes
- sobe entre a fatia 1 e 100, atingindo o valor máximo de 1;
- desce entre a fatia 101 e 200 até 0;
- desce entre a fatia 201 e 300 até -1;
- sobe entre a fatia 301 e 400 até 1.
- Noutra coluna vamos colocar o valor atribuído à onda triangular. Como queremos que o sinal varie entre 0 e 1 na primeira parte do sinal, o incremento por fatia será de 1/100 uma vez que cada parte do sinal tem 100 fatias. Vamos começar colocando 1/100 na primeira célula, correspondente á fatia 1, digamos B1.
- Na célula imediatamente abaixo, em B2, coloque a fórmula =B1+1/100. Como vamos querer um valor crescente entre 0 e 1, entre as fatias 1 e 100, incrementamos 1/100 avos em cada fatia. Copie esta fórmula até à posição relativa à fatia 100. Deve nessa posição relativa à fatia 100 obter o valor 1.
- Na célula abaixo, em B101, coloque a fórmula =B100-1/100. Vamos agora querer um valor decrescente entre 1 e -1, entre as fatias 101 e 300. Copie a fórmula até á posição relativa á fatia 300.
- Na posição relativa á fatia 301 coloque a fórmula =B300+1/100. Copie até à posição relativa à fatia 400.
- Numa posição à sua escolha, formate a célula de forma a obter números com 3 casas decimais e introduza a fórmula que nos dá a média dos valores entre B1 e B400. A fórmula será =MÉDIA(B1:B400) Obterá então o valor médio que neste caso será zero, porque as alternâncias positiva e negativa são simétricas. Poderá também somar os valores entre B1 e B400 e dividir o resultado por 400 que é neste caso o numero de fatias. É importante que formate a célula do resultado com 3 decimais pois se não o fizer poderá obter números muito pequenos, próximos mas diferentes de zero, devido ao facto de não analisarmos todos os pontos da onda que sendo de variação contínua não se limita a 400 valores por ciclo. Isto dá origem a um pequeno erro. que será tanto menor quanto maior for o número de fatias.
Usando a calculadora talvez seja mais rápido se encontrarmos uma função que descreva a onda triangular. Eu usei a seguinte função por ramos ilustrada na fig.4
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| Fig. 4 |
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| Fig. 5 |
Agora que tenho a certeza que a função descreve o sinal pretendido, vamos aplicar a fórmula que nos dá a média:
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| Fig.6 |
Conforme mostrado no canto superior direito da Fig.6, o resultado é zero, conforme era expectável.
Sinais sinusoidais e afins
Os sinais sinusoidais e derivados (rectificação de meia onda e onda completa) são oriundos da função seno que todos bem conhecemos. O valor médio da função seno é zero, pois existe uma alternância positiva e outra negativa de onde resulta um valor médio igual a zero. Se quisermos comprovar, podemos fazer os cálculos conforme mostra a figura 7
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| Fig. 7 |
No topo da Fig. 7, vemos o resultado do cálculo do valor médio de 1 período inteiro da função seno (360º).
No meio da mesma figura, calculamos o valor médio de uma rectificação de meia onda. Só consideramos os valores na alternância positiva (0-180º) porque na segunda alternância são iguais a zero. Temos no entanto de dividir o total por 360 fatias, pois os zeros contam para a média. Obtemos 1/pi ~= 0.318 Vmax.
Se os integrais o assustam podemos fazer o cálculo com outras ferramentas desde que entendamos o conceito que está por detrás do valor médio de um sinal. Vamos por exemplo calcular o mesmo valor médio através de um pequeno programa para o Arduino. Neste caso usamos 400 fatias.
Se os integrais o assustam podemos fazer o cálculo com outras ferramentas desde que entendamos o conceito que está por detrás do valor médio de um sinal. Vamos por exemplo calcular o mesmo valor médio através de um pequeno programa para o Arduino. Neste caso usamos 400 fatias.
// Valor médio de um sinal rectificado de 1/2 onda
// Soma os valores de todos os senos dos primeiros 180 graus ou meio período
// Divide pelo numero de fatias em que cortamos o período
// Obtemos assim o valor médio no período T
#define fatias 400 //Numero de fatias
#define pi 3.1415927 //O Arduino não conhece o valor de pi. Temos de o ensinar :)
float valormedio = 0; //Inicialização de variáveis
float vtotal = 0;
void setup() {
Serial.begin(9600); // inicializa porto serie
for (float i = 0; i <= pi; i = i + pi / (fatias/2)) { //O arduino trabalha em radianos.
vtotal = vtotal + sin(i); //vamos somando o valor dos senos de 0 a 180º ou pi radianos
}
valormedio = vtotal / (fatias);
Serial.println(valormedio, 3);
}
void loop() {
}
Obtivemos novamente o valor de 0.318 Vmax, o que confirma os primeiros cálculos.
Na parte inferior da figura 7, calculamos o valor médio de um sinal rectificado em onda completa. Como sabemos, na onda completa a frequência duplica e consequentemente o período T passa a metade. Vamos portanto adaptar o cálculo, dizendo que basta analisar meia alternância (0-180º) e calcular o valor médio dessa alternância. Obtemos 2/pi que é o dobro do valor médio obtido com a rectificação de meia onda. 2/pi é igual a 0.637 Vmax.
Voltando ao método de cálculo usando um programa para Arduino:
// Valor médio de um sinal rectificado de onda completa
// Soma os valores de todos os senos dos primeiros 180 graus
// Divide pelo numero de fatias em que cortamos o período. De notar que o período do sinal rectificado corresponde a meio período do sinal de entrada
// Obtemos assim o valor médio no período T#define fatias 400 //Numero de fatias
#define pi 3.1415927 //O Arduino não conhece o valor de pi. Temos de o ensinar :)
float valormedio = 0; //Inicialização de variáveis
float vtotal = 0;
// Soma os valores de todos os senos dos primeiros 180 graus
// Divide pelo numero de fatias em que cortamos o período. De notar que o período do sinal rectificado corresponde a meio período do sinal de entrada
// Obtemos assim o valor médio no período T#define fatias 400 //Numero de fatias
#define pi 3.1415927 //O Arduino não conhece o valor de pi. Temos de o ensinar :)
float valormedio = 0; //Inicialização de variáveis
float vtotal = 0;
void setup() {
Serial.begin(9600); // inicializa porto serie
for (float i = 0; i <= pi; i = i + pi / (fatias)) { //O arduino trabalha em radianos.
vtotal = vtotal + sin(i); //vamos somando o valor dos senos de 0 a 180º ou pi radianos
}
valormedio = vtotal / (fatias);
Serial.println(valormedio, 3);
}
void loop() {}
Serial.begin(9600); // inicializa porto serie
for (float i = 0; i <= pi; i = i + pi / (fatias)) { //O arduino trabalha em radianos.
vtotal = vtotal + sin(i); //vamos somando o valor dos senos de 0 a 180º ou pi radianos
}
valormedio = vtotal / (fatias);
Serial.println(valormedio, 3);
}
void loop() {}
Obtivemos o mesmo resultado. 0.637 * VMax que é igual a 2/pi * Vmax.
Valor eficaz
Ao observar o gráfico de uma corrente alternada sinusoidal, verificamos que ela varia constantemente a um ritmo sinusoidal repetindo-se a cada ciclo. Toma vários valores entre -Imax e +Imax, passando duas vezes por zero em cada ciclo. Cada ciclo ou período tem uma alternância positiva e outra negativa, iguais mas de sinal contrário. Para além do valor máximo, mínimo e médio existe um outro valor muito importante que se chama o valor eficaz. O valor eficaz da corrente alternada é o valor que produz o mesmo efeito calorifico que uma corrente contínua, numa mesma resistência. O efeito calorifico acontece tanto na alternância positiva como negativa, mas como temos uma variação constante entre valores máximos e mínimos precisamos saber qual é o valor que produz o mesmo efeito calorífico na resistência que uma corrente contínua. Por exemplo: se tivermos uma corrente alternada com um Imax de 10A, provoca na resistência um efeito calorifico igual a uma corrente continua de quantos amperes? Esta questão coloca-se tanto num sinal sinusoidal como em outro qualquer.
O valor eficaz ou RMS (Root Mean Square), é por definição a raiz quadrada da média do quadrado de um sinal. Vamos então ver como calcular esse valor, qualquer que seja o sinal em análise. No caso de uma onda sinusoidal, todos decoramos que o Valor eficaz é igual a raiz de 2 sobre 2 ou 0,707 * Imax. Vamos ver como se calcula. Dizem os livros que o valor eficaz é:
O valor eficaz ou RMS (Root Mean Square), é por definição a raiz quadrada da média do quadrado de um sinal. Vamos então ver como calcular esse valor, qualquer que seja o sinal em análise. No caso de uma onda sinusoidal, todos decoramos que o Valor eficaz é igual a raiz de 2 sobre 2 ou 0,707 * Imax. Vamos ver como se calcula. Dizem os livros que o valor eficaz é:
Quer isto dizer que para calcular o valor eficaz:
- Elevamos ao quadrado os valores da função que descreve o sinal;
- Calculamos a média do quadrado dos valores obtidos em cada fatia;
- Calculamos a raiz quadrada da média do quadrado dos valores.
Vamos então aos cálculos:
Confirma-se que o valor eficaz de uma sinusóide é raiz de dois sobre dois * Imax ou Vmax, consoante estejamos a falar de uma corrente ou de uma tensão.
Como já praticámos o cálculo das médias, vou-me focar no cálculo dos valores eficazes. Voltamos agora à figura 1 para exemplificar o calculo do valor eficaz. Usamos a mesma fórmula que quando calculamos as médias, mas desta vez elevamos os valores ao quadrado:
No caso da onda triangular:
Pegamos na fórmula usada na média, elevamos os valores da função ao quadrado, Calculamos a média do quadrado da função e seguidamente calculamos a raiz quadrada para obter o valor RMS de 0.577 * Imax ou Imax/raiz de 3.
Vamos seguidamente exemplificar o cálculo de um valor eficaz, por exemplo da sinusóide, usando o ambiente de desenvolvimento do Arduino:
// Valor eficaz de uma sinusoide
// Soma os valores de todos os quadrados dos senos dos 360 graus
// Divide pelo numero de fatias em que cortamos o período.
// Calcula a raiz quadrada da média dos quadrados do seno (RMS)
// Obtemos assim o valor eficaz no período T
#define fatias 400 //Numero de fatias
#define pi 3.1415927 //O Arduino não conhece o valor de pi. Temos de o ensinar :)
float vmedio = 0; //Inicialização de variáveis
float vtotal = 0;
float veficaz = 0;
void setup() {
Serial.begin(9600); // inicializa porto serie
for (float i = 0; i <= 2*pi; i = i + (2*pi) / (fatias)) { //O arduino trabalha em radianos.
vtotal = vtotal + sin(i)*sin(i); //vamos somando o valor dos quadrados dos senos de 0 a 360º
}
vmedio = vtotal / (fatias);
veficaz = sqrt(vmedio);
Serial.println(veficaz,3);
}
void loop() {}
Obtemos 0,707 que é equivalente a raiz de dois sobre dois.
Percebendo o princípio de cálculo, podem-se usar as mais diversas ferramentas como folhas de cálculo ou outras que estejam ao dispor.
Vou terminar com dois programas exemplo para o cálculo de ondas quadradas e triangulares:
Valor eficaz de ondas quadradas:
Vamos usar o sinal da figura 1, pois já sabemos os resultados e podemos assim verificar se o programa faz os cálculos correctamente.
// Valor eficaz de uma onda quadrada
// Soma os valores de todos os quadrados dos valores obtidos em cada fatia
// Divide pelo numero de fatias em que cortamos o período. Ficamos com a média dos quadrados
// Calcula a raiz quadrada da média dos quadrados
// Obtemos assim o valor eficaz no período T
float fatias = 400; //fatias, embora seja um numero inteiro, deve-se declarar float para coerencia de tipos nas operações
float valor = 0; //Valor instantaneo do sinal
float vmedio = 0; //Inicialização de variáveis
float vtotal = 0;
float veficaz = 0;
float dutycycle = 0.2; //Definir aqui o duty cycle (Ton/Toff)
float vhi = 10.0; //Definir aqui o valor alto em volts
float vlow = -10.0; //Definir aqui o valor baixo em volts
void setup() {
for (float i = 0; i <= 1; i = i + 1 / fatias) { // fatiamos o periodo T em n fatias
if (i < dutycycle) {
valor = vhi;
}
else {
valor = vlow;
}
vtotal = vtotal + valor * valor; //vamos somando o valor dos quadrados
}
vmedio = vtotal / (fatias);
veficaz = sqrt(vmedio);
Serial.begin(9600); // inicializa porto serie
Serial.print( "Valor Eficaz: ");
Serial.print(veficaz, 1);
Serial.println( " V");
}
void loop() {
}
Obtemos o mesmo resultado que anteriormente, o que significa que o programa está a calcular bem o valor eficaz.
Valor eficaz de ondas triangulares:
Vamos agora fazer um programa para calcular o valor eficaz de uma onda triangular. Podemos usar a onda triangular da fig 5 com um Vmax de 1V. Já efectuamos o cálculo do valor eficaz com outro método e obtivemos um valor eficaz de 0.577 Vmax ou Vmax sobre raiz de 3. Vamos ver se obtemos o mesmo resultado agora. O princípio de cálculo é o mesmo. Dividimos o sinal nas suas partes constituintes, em que na primeira parte sobe de 0 a 1, na segunda desce de 1 a -1 e na última sobe de -1 até zero.
// Valor eficaz de uma onda Triangular
// Soma os valores de todos os quadrados dos valores obtidos em cada fatia
// Divide pelo numero de fatias em que cortamos o período.
// Calcula a raiz quadrada da média dos quadrados
// Obtemos assim o valor eficaz no período T
float fatias = 400; //numero de fatias. Embora seja um numero inteiro, deve-se declarar float para coerência de tipos nas operações aritméticas
float valor = 0; //Valor instantâneo do sinal
float vmedio = 0; //Inicialização de variáveis
float vtotal = 0;
float veficaz = 0;
void setup() {
Serial.begin(9600); // inicializa porto serie
for (int i = 0; i < fatias; i ++) { // fatiamos o período T em n fatias
if (i <= (fatias / 4)) { //primeiro quarto do periodo
valor = valor + 1 / (fatias / 4); //Sobe de zero a 1 em 1 / 4 do período
}
else if (i > (fatias * 3 / 4)) { //ultimo quarto do período. (3/4 do período ate ao fim)
valor = valor + 1 / (fatias / 4); //Sobe de - 1 a 0 no ultimo quarto do período
}
else {
valor = valor - 1 / (fatias / 4); // periodo entre 1/4 e 3/4 é sempre a descer
}
vtotal = vtotal + valor * valor; //vamos somando o valor dos quadrados
}
vmedio = vtotal / (fatias);
veficaz = sqrt(vmedio);
Serial.print( "Valor Eficaz: ");
Serial.print(veficaz, 3);
Serial.println( " Vmax");
}
void loop() {
}
Obtivemos o mesmo resultado que na calculadora. 0,577 Vmax que é equivalente a Vmax * 1/ raiz de 3
O objectivo principal destes exercícios é melhorar a compreensão dos valores médios e eficazes de uma qualquer onda, através dos vários meios e formas possíveis. Ao entender o conceito é fácil fazer os cálculos.
Espero que tenham gostado.
Até breve,
Luís Sousa
Luís Sousa
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