Leis de Kirchhoff

As leis de Kirchhoff são certamente das leis mais importantes no que toca à análise de circuitos eléctricos.

Em 1847 o físico alemão “Robert Kirchhoff” introduziu duas leis muito importantes, através das quais podemos encontrar os valores da corrente eléctrica e das quedas de tensão em circuitos eléctricos complexos contendo mais de uma fonte de tensão ou corrente.

Os circuitos CC (corrente contínua) e CA (corrente alterna) podem ser resolvidos  mais facilmente usando essas leis, conhecidas como:

• 1ª Lei - Lei de Kirchhoff para as correntes ou em inglês Kirchhoff’s Current Law (KCL), também conhecida por lei dos nós, diz que a soma algébrica das correntes que convergem num nó é nula. Também se pode dizer que o somatório das correntes que entram num nó é igual ao somatório das correntes que saem dele. Duma forma mais simples pode-se dizer que o que entra é igual ao que sai. Se marcarmos o que entra como positivo e o que sai como negativo e somarmos tudo, o resultado tem que ser 0!

• 2ª Lei - Lei de Kirchhoff para as tensões ou em inglês Kirchhoff’s Voltage Law (KVL) também conhecida pela lei das malhas, diz-nos que a soma algébrica das forças electromotrizes existentes na malha é igual à soma algébrica de todas as quedas de tensão. Dito de outra forma, a soma algébrica de todas as tensões numa malha é igual a zero. É essencial marcar correctamente o sentido das várias tensões na malha, através de uma seta que vá do menor potencial para o maior, por exemplo. Ao circular na malha dê sinal positivo ás tensões cuja seta aponta no sentido de circulação na malha e sinal negativo às tensões cuja seta aponta na direcção oposta à circulação na malha. Somando todas as tensões na malha, o resultado tem que ser 0!

As leis de Kirchhoff são leis fundamentais na análise de circuitos eléctricos complexos e baseiam-se na lei da conservação de energia. Antes de prosseguir, vamos então definir alguns termos importantes:

• Nó - É um ponto do circuito onde ligam 3 ou mais condutores. Local onde a corrente se divide ou converge. Na fig. 1 facilmente identificamos 2 nós.

• Malha - Anel fechado. Conjunto de elementos ou componentes eléctricos por onde se fecha um circuito eléctrico (resistências, fontes de tensão, fontes de corrente, entre outros). Caminho por onde se fecha um circuito.  Na fig.1 existem 3 malhas:

• E2,R3,R1 (circuito fechado ou malha 1)
• E2,R3,R2,E1 (circuito fechado ou malha 2)
• E1,R2,R1 (circuito fechado ou malha 3)

• Ramo - Um ramo liga dois nós. Pode-se também definir como um troço de um circuito eléctrico, constituída por um elemento ou conjunto de elementos ligados em série, e onde portanto a intensidade de corrente é a mesma. Existem dois tipos de nós:

• Ramo activo – se contém força electromotriz;
• Ramo passivo – se não contém força electromotriz; 

Na fig.1 existem 3 ramos por onde passam as correntes I1, I2 e I3:

• I1 > (R1) Ramo passivo; 
• I2 > (R2,E1) Ramo activo;
• I3 > (R3,E2) Ramo activo.

Fig.1 Circuito exemplo (Fonte: Wikipedia)

Para determinar o valor de corrente em cada ramo, vamos aplicar as duas leis de Kirchhoff ao circuito. 

Antes disso porém, vamos arbitrar as correntes nos nós e o sentido de circulação nas malhas. Na figura 1 mostra-se a forma como foi arbitrado o sentido da corrente e o sentido de circulação nas malhas interiores. 

Para calcular I1, I2 e I3 precisamos de usar um sistema de equações onde se plasmam as 1ª e 2ª Lei de Kirchhoff

• 1ª Lei: Vamos analisar o nó superior e marcar como positivas as correntes que entram e como negativas as correntes que saem, de acordo com aquilo que arbitrámos anteriormente. Se arbitrarmos o sentido incorrectamente, o resultado vai ser negativo e no fim corrigimos. Relembrando a 1ª lei: "a soma algébrica das correntes que convergem num nó é nula"
  vamos então construir a equação considerando que I1 entra e I2 e I3 saem do nó: I1-I2-I3=0
• 2ª Lei: Aplicando a 2ª Lei na malha S1 construímos a equação: 

• E1=R2*I2+R1*I1 ou E1-R2*I2-R1*I1=0

Vamos agora circular na malha S2 e construir a sua equação de acordo com a 2ª lei ou Lei das malhas:

• -E2=E1-R2*I2+R3*I3 ou -E2-E1+R2*I2-R3*I3=0

Assumindo que: 

${\displaystyle R_{1}=100\Omega ,\ R_{2}=200\Omega ,\ R_{3}=300\Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}=3{\text{V}},{\mathcal {E}}_{2}=4{\text{V}}}$

Já podemos resolver o sistema de equações, pois temos as 3 equações, para as 3 incógnitas.

Podemos no entanto simplificar o sistema de equações se aplicarmos novamente a 1ª Lei. Se como vimos I1-I2-I3=0 então podemos dizer que I2=I1-I3. Podemos agora substituir I2 por I1-I3 e poupamos uma variável e consequentemente uma equação. 

Ficamos então com:

• e1-r2*(i1-i3)-r1*i1=0
• −e2-e1+r2*(i1-i3)-r3*i3=0

Resolvendo a equação ficamos com:

Vamos agora resolver um circuito que tipicamente aparece em exercícios e exames:

Fig.2 Exercício 1

Escolhemos circular nas malhas no sentido dos ponteiros do relógio, e obtivemos as seguintes equações:

Confirmámos num simulador, e obtivemos os mesmos resultados, conforme mostra a figura 3. É importante treinar bastante e verificar os resultados num simulador para ganhar confiança na resolução deste tipo de problemas.

Fig.3 Resultados do simulador

Para simplificar a resolução do sistema, podemos sempre usar a técnica de substituição de uma das variáveis, neste caso I2 pela expressão que a substitui, neste caso I3-I1. Assim eliminamos uma variável e uma equação. Vamos verificar:

Como podem observar, obtivemos o mesmo resultado.